Força é Massa vezes Aceleração?

Estava por estes dias conversando um aluno de graduação a respeito de diversos assuntos, quando ouvir a seguinte afirmação do aluno; “ Força é igual a massa vezes a aceleração, como disse Newton!”. Isto me causou um certo espanto, pois na realidade Newton nunca afirmou isso! Na realidade Sir Isaac Neston afirmou que a força é a variação do momento em relação ao tempo, ou matematicamente, 

onde F é a força, p = m⋅v é o momento linear (onde M é a massa e v a velocidade). Assim, a força é,

 onde só apenas se a massa m não varia no tempo é que a força será igual a massa vezes a aceleração.

Em um grande número de aplicações comuns aos exercícios de física cobrados a estes alunos tem-se que a massa é uma constante no tempo, levando a uma conclusão equivocada simplesmente pelo fato do nosso raciocínio ser fortemente “baseado em caso”.

   Um bom exemplo onde se tem a massa variável é o movimento de um foguete! Um foguete de forma geral tem um percentual bastante considerável de sua massa constituída de combustível, que será queimado e expelido do foguete, fazendo assim com que sua massa varie consideravelmente durante seu percurso.

Movimento de um Foguete no Espaço Livre

Assuma aqui que o foguete se mova sem a influencia de qualquer força esterna a ele. Assim, no espaço livre o foguete deverá se mover por conta de sua própria energia, com a queima do combustível e a ejeção de massa (geralmente gazes) resultante desta queima.

       Em um certo instante de tempo t, a massa total do foguete é m e sua velocidade instantânea é v com respeito a algum sistema de referencial inercial. Vamos assumi que o movimento ocorre em apenas uma direção, digamos x, onde eliminaremos a notação vetorial e trabalharemos com a notação escalar.

       Durante um intervalo de tempo infinitesimal dt, um quantidade positiva infinitesimal de massa dm′é ejetada do foguete com uma velocidade u em relação ao próprio foguete. Imediatamente apos a massa dm′ ser ejetada, a massa e a velocidade do foguete serão: m - dm′ e v + dv, respectivamente.

Portanto, sobre o tempo t,

A conservação do momento linear requer que o momento inicial seja igual ao momento final, ou,

nde foi negligenciado o produto dm′dv. Como está sendo considerado que dm′é uma massa positiva ejetada do foguete, a variação da massa do foguete por se só é dm, onde dm = -dm′, e,

uma vez que a massa do foguete deve ser negativa. Assim, seja m₀ e v₀ a massa inicial e a velocidade inicial do foguete respectivamente, é possível integrar este última equação para computar as respectivas variação em massa e velocidade,

    A velocidade de exaustão foi assumida ser constante. Assim, para maximizar a velocidade do foguete, é necessário maximizar a velocidade de exaustão, u, e a razão m0/m .

Dada o fator limitante para a velocidade de exaustão, a razão m0/m, os engenheiros têm projetado foguetes de múltiplos estágios, visto que a massa mínima do foguete é limitada pela a parte estrutural.

Se pegarmos a Equação 1 e multiplicarmos por m e dividirmos por dt, então temos um termo do tipo “massa vezes aceleração” que é o impulso gerado pela queima do combustível,    [

Movimento Ascendente de um Foguete com Gravidade

O Movimento de um foguete que está tentando vencer o campo gravitacional terrestre é bastante complicado. Desta forma, vamos considerar que o foguete só pode ter movimento vertical, sem nenhuma componente horizontal. Vamos também negligenciar a resistência do ar e vamos assumir que o campo gravitacional terrestre é constante e independente da altura.

     Neste caso existira uma força externa aplicada ao foguete, no caso o seu peso. Assim, a força externa é,    

No espaço livre a força externo é zero, mas agora F_ext. = -mg onde g é a aceleração de gravidade terrestre. Assim,

Devido ao fato que a queima de combustível ocorre em uma taxa constante,    

e daí,

assumindo que a velocidade inicial é zero e a final é v, a massa inicial é m₀ e a final é m,

    

onde também é possível integrar a massa para obter a taxa α,

    e assim,

Desta forma, este é um exemplo onde a força não é simplesmente a massa vezes a aceleração!