sexta-feira, 19 de fevereiro de 2016

Força é Massa vezes Aceleração?

Estava por estes dias conversando um aluno de graduação a respeito de diversos assuntos, quando ouvir a seguinte afirmação do aluno; “ Força é igual a massa vezes a aceleração, como disse Newton!”. Isto me causou um certo espanto, pois na realidade Newton nunca afirmou isso! Na realidade Sir Isaac Neston afirmou que a força é a variação do momento em relação ao tempo, ou matematicamente, 


onde F é a força, p = mv é o momento linear (onde M é a massa e v a velocidade). Assim, a força é,


 onde só apenas se a massa m não varia no tempo é que a força será igual a massa vezes a aceleração.
Em um grande número de aplicações comuns aos exercícios de física cobrados a estes alunos tem-se que a massa é uma constante no tempo, levando a uma conclusão equivocada simplesmente pelo fato do nosso raciocínio ser fortemente “baseado em caso”.


   Um bom exemplo onde se tem a massa variável é o movimento de um foguete! Um foguete de forma geral tem um percentual bastante considerável de sua massa constituída de combustível, que será queimado e expelido do foguete, fazendo assim com que sua massa varie consideravelmente durante seu percurso.

Movimento de um Foguete no Espaço Livre

Assuma aqui que o foguete se mova sem a influencia de qualquer força esterna a ele. Assim, no espaço livre o foguete deverá se mover por conta de sua própria energia, com a queima do combustível e a ejeção de massa (geralmente gazes) resultante desta queima.
       Em um certo instante de tempo t, a massa total do foguete é m e sua velocidade instantânea é v com respeito a algum sistema de referencial inercial. Vamos assumi que o movimento ocorre em apenas uma direção, digamos x, onde eliminaremos a notação vetorial e trabalharemos com a notação escalar.
       Durante um intervalo de tempo infinitesimal dt, um quantidade positiva infinitesimal de massa dmé ejetada do foguete com uma velocidade u em relação ao próprio foguete. Imediatamente apos a massa dmser ejetada, a massa e a velocidade do foguete serão: m - dme v + dv, respectivamente.
Portanto, sobre o tempo t,


A conservação do momento linear requer que o momento inicial seja igual ao momento final, ou,

nde foi negligenciado o produto dmdv. Como está sendo considerado que dmé uma massa positiva ejetada do foguete, a variação da massa do foguete por se só é dm, onde dm = -dm, e,


uma vez que a massa do foguete deve ser negativa. Assim, seja m0 e v0 a massa inicial e a velocidade inicial do foguete respectivamente, é possível integrar este última equação para computar as respectivas variação em massa e velocidade,


    A velocidade de exaustão foi assumida ser constante. Assim, para maximizar a velocidade do foguete, é necessário maximizar a velocidade de exaustão, u, e a razão m0/m m0m-.
Dada o fator limitante para a velocidade de exaustão, a razão m0/mm0m-, os engenheiros têm projetado foguetes de múltiplos estágios, visto que a massa mínima do foguete é limitada pela a parte estrutural.
Se pegarmos a Equação 1 e multiplicarmos por m e dividirmos por dt, então temos um termo do tipo “massa vezes aceleração” que é o impulso gerado pela queima do combustível,    [


Movimento Ascendente de um Foguete com Gravidade

O Movimento de um foguete que está tentando vencer o campo gravitacional terrestre é bastante complicado. Desta forma, vamos considerar que o foguete só pode ter movimento vertical, sem nenhuma componente horizontal. Vamos também negligenciar a resistência do ar e vamos assumir que o campo gravitacional terrestre é constante e independente da altura.
     Neste caso existira uma força externa aplicada ao foguete, no caso o seu peso. Assim, a força externa é,    


No espaço livre a força externo é zero, mas agora Fext. = -mg onde g é a aceleração de gravidade terrestre. Assim,


Devido ao fato que a queima de combustível ocorre em uma taxa constante,    


e daí,


assumindo que a velocidade inicial é zero e a final é v, a massa inicial é m0 e a final é m,

    
onde também é possível integrar a massa para obter a taxa α,


    e assim,


Desta forma, este é um exemplo onde a força não é simplesmente a massa vezes a aceleração!

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