Desta forma, sempre é possível ter uma visão estatística do que se deseja descrever física, matemática ou computacionalmente. Ou seja, modelos rigorosamente realísticos devem utilizar de alguma forma a teoria da probabilidade em seus processos. Para tanto, ao olhar da mecânica estatística (física) é possível definir um sistema macroscópico como sendo um conjunto de sistemas microscópicos (ou do inglês, um ensemble), de cardinalidade muito alto (tendendo ao infinito).
Uma forma muito simples conceitualmente, e também muito interessante, de se modelar vários processos naturais (pelo menos em primeira aproximação) é o procedimento chamado "Caminhada Aleatória", ou do inglês Ramdom Walk. Este procedimento tem inúmeras aplicabilidades, desde o mundo microscópico até o astronômico, permeando as ciências da física, matemática, estatística, química, biologia, dentre outras.
Hipoteticamente, é possível de definir uma Caminhada Aleatória através do enunciado do seguinte problema: Seja um indivíduo que se encontra em um estado de embriagues alcoólica. Este indivíduo está bêbado o suficiente para não ter controle sobre os seus passos, mas está sóbrio o suficiente para conseguir ficar de pé e caminhar. Inicialmente o indivíduo está em um bar, e visto que o seu dinheiro acabaou, só resta para ele voltar a pé para sua residência.
Por simplicidade, considere o problema unidimensional, ou seja, o bêbado só poderá dar um passo por unidade de tempo, sendo este ou para a direita ou para a esquerda. Dado o estado de embriagues do indivíduo, todos os seus passos são considerados independentes dos respectivos passos anteriores. Suponha também que todos os passos tenham o mesmo tamanho $l$. Logo, cada vez que o bêbado dá um passo, a probabilidade deste passo ser para a direita será $p$ e para a esquerda será $q=1-p$. No caso mais simples $p=q$, o que no nosso problema significa que a caminhada do bêbado está ocorrendo em uma região plana, não havendo nenhum privilégio para o passo a direita ou a esquerda. Contudo, no caso geral $p \neq q$, o que implicaria, por exemplo, a caminhada do bêbado em uma ladeira.
Assim, admitindo que o ponto de partida do bêbado seja o bar (localizado em $x=0$) e que toada a sua caminhada ocorrerá sobre o eixo $x$ (uma dimensão), a localização do bêbado tem que ser da forma,
\begin{equation}
x = ml
\end{equation}
onde $m$ é um inteiro (positivo, negativo ou zero)em um dado instante qualquer.
Desta forma, a questão natural é: depois de $N$ passos, qual a probabilidade do bêbado estar na posição $x=ml$? Ou equivalentemente, se sua residência está a $k$ passos do bar ($N \geq k$), qual a probabilidade do bêbado chegar em sua casa depois de $N$ passos?
Em uma visão estatística, seria necessário realizar várias vezes a observação do bêbado andando ou considerar vários homens bêbados realizando a caminhada em busca de sua casa ou mesmo tempo. Neste último senário, depois de $N$ passos, qual a fração destes homens estaria na posição $x=ml$? Ou ainda, qual a fração destes homens teria alcançado a sua casa (todos estão tentando chegar até a mesma casa!).
Este problema fictício (assim espero...) aparentemente bob, ilustra alguns resultados fundamentais da teoria da probabilidade. Assim, sendo o bêbado representado por uma partícula, depois de $N$ passos , cada um de tamanho $l$, tal partícula estará localizada em $x=ml$, sendo $m$ um inteiro de valor,
\begin{equation}
-N \leq m \leq N
\end{equation}
Deseja-se calcular a probabilidade de se encontrar a partícula na posição $x=ml$ depois de $N$ passos. Para tanto, seja $n_1$ o número de passos dados para a direita, e $n_2$ o número de passos para a esquerda. Portanto,
\begin{equation}
N=n_1 + n_2
\end{equation}
O deslocamento medido em unidades de comprimento de um passo, medidos a partir da posição do bar ($x=0$), é dado por
\begin{equation}\label{eqn:m}
m=n_1-n_2
\end{equation}
Observe que $m$ também poderia ser definido como $m=n_2-n_1$. Contudo, como está sendo considerado que a direção positiva está para a direita, utiliza-se a Equação \ref{eqn:m}. Vale também frisar que se for conhecida a quantidade de passos para a direita $n_1$ (ou para a esquerda $n_2$) é possível se determinar sua posição, visto que se conhece $N$,
\begin{equation}
m=n_1-n_2 = n_1-(N-n_1) = 2n_1 - N
\end{equation}
Dado que $2n_1$ é um número par, $m$ será par se $N$ for par, e será ímpar se $N$ também assim for.
Como todos os passos são estabelecidos independentemente, cada passo é caracterizado para sua respectiva probabilidade,
- $p$ - probabilidade do passo ser para a direita;
- $q=1-p$ - probabilidade do passo ser para a esquerda.
\begin{equation}
\underbrace{p \cdot p \dots p}_{n_1} \cdot \underbrace{q \cdot q \dots q}_{n_2} = p^{n_1} \cdot q^{n_2}
\end{equation}
Entretanto, observe que pode existir muitas formas de se ter $N$ passos compostos por $n_1$ passos para a direita e $n_2$ passos para a esquerda. A quantidade de possibilidades de arranjos para uma dada configura de $N$ passos é,
\begin{equation}
\frac{N!}{n_1! n_2!}
\end{equation}
Daí, a probabilidade $P_N(n_1)$ de se ter $n_1$ pasos para a direita e $n_2 = N-n_1$ passos para esquerda (em um total de $N$ passos) é,
\begin{equation}\label{eqn:binomial}
P_N(n_1) = \frac{N!}{n_1! n_2!} p^{n_1} q^{N-n_1}
\end{equation}
A Equação \ref{eqn:binomial} é chamada de distribuição binomial, visto que esta é um termo típico encontrado na expansão de $(p+q)^N$ pelo teorema binomial,
\begin{equation}
(p+q)^N = \sum^N_{n=0}\frac{N!}{n! (N-n)!}p^n q^{N-n}
\end{equation}
(p+q)^N = \sum^N_{n=0}\frac{N!}{n! (N-n)!}p^n q^{N-n}
\end{equation}
Desta forma, escrevendo, $$ n_1 = \frac{1}{2}(N+m) $$ $$n_2 = \frac{1}{2} (N-m)$$ a probabilidade de uma partícula (bêbado) ser encotrada na posição $m$ depois de $N$ passos é,
\begin{equation}
P_N(m) = \frac{N!}{ \left( \frac{1}{2}(N+m)\right) ! \left( \frac{1}{2}(N-m)\right) !} p^{ \frac{1}{2}(N+m)}q^{ \frac{1}{2}(N-m)}
\end{equation}
P_N(m) = \frac{N!}{ \left( \frac{1}{2}(N+m)\right) ! \left( \frac{1}{2}(N-m)\right) !} p^{ \frac{1}{2}(N+m)}q^{ \frac{1}{2}(N-m)}
\end{equation}
onde para o caso especial de $p=q=\frac{1}{2}$,
\begin{equation}
P_N(m) = \frac{N!}{ \left( \frac{1}{2}(N+m)\right) ! \left( \frac{1}{2}(N-m)\right) !} \left( \frac{1}{2} \right) ^N
\end{equation}
P_N(m) = \frac{N!}{ \left( \frac{1}{2}(N+m)\right) ! \left( \frac{1}{2}(N-m)\right) !} \left( \frac{1}{2} \right) ^N
\end{equation}
As figuras abaixo apresentam as probabilidades de encontrar a partícula (o bêbado) na posição $m$ para três situaçãoes, $p=q=0,5$; $p=0,70$ e $q=0,30$; e, $p=0,30$ e $q=0,70$. Vale frisar que, computacionalmente, poder existir alguma dificuldade em calcular a função fatorial para números não inteiros. Desta forma, é possível utilizar a função $\Gamma$ (gama), onde $$Z! = \Gamma(Z+1) = \int^\infty_0 t^Z \exp(-t) dt$$
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