Valores Médios para as Caminhadas Aleatórias Clássicas (Random Walk)

Coma já exposto na postagem "Caminhadas Aleatórias Clássicas (Random Walk)", foi visto que a probabilidade de se encontrar uma partícula que realiza uma caminhada aleatória em uma dimensão, dado $n_1$ passos paraa direita de um total de $N$ passos (passos para a esquerda é naturalmente $N-n_1 = n_2$) é,
$$\begin{equation} P(n_1) = \frac{N!}{n_1! (N-n_1)!}p^{n_1}q^{N-n_1} \end{equation}$$

Observe que $\sum^N_{n_1=0} P(n_1)=1$, dado que $P(n_1)$ é uma probabilidade, e a soma das probabilidades de todas as possibilidades de ocorrência de um certo fenômeno tem que ser $100\%$, ou simplesmente $1$ (quando normalizado).

Desta forma, pelo Teorema Binomial
$$\begin{equation} \sum^N_{n_1=0} \frac{N!}{n_1! (N-n_1)!} p^{n_1}q^{N-n_1} = (p+q)^N = 1^N = 1 \end{equation}$$
verificando realmente que $\sum^N_{n_1=0} P(n_1)=1$.

Logo, pelo que foi exposta na postagem "Valores Médios e Dispersão", é possível determinar o número médio de passos para a direita (ou esquerda) que a partícula realiza em uma caminhada aleatória,
$$\begin{equation} \overline{n_1} = \sum^N_{n_1=0} P(n_1) \cdot n_1 = \sum^N_{n_1=0} \frac{N!}{n_1! (N-n_1)!} p^{n_1}q^{N-n_1} \cdot n_1 \end{equation}$$

Portanto é necessário resolver este último somatório! Contudo, devido ao termo $n_1$, não é mais possível se aplicar diretamente o Teorema Binomial para se ter o resultado. Porém, encarando este problema puramente sob a óptica matemática, $p$ e $q$ são dois parâmetros arbitrários quaisquer, logo, $$p\frac{\partial}{\partial p} (p^{n_1}) = p\cdot p^{n_1-1} = n_1\cdot p^{n_1}$$ utilizando-se deste fato,
$$\begin{equation} \begin{split} \sum^N_{n_1=0} \frac{N!}{n_1! (N-n_1)!} p^{n_1}q^{N-n_1}\cdot n_1 & = \sum^N_{n_1=0} \frac{N!}{n_1! (N-n_1)!} \left[ p \frac{\partial}{\partial p} \right] q^{N-n_1}\\ & = p \frac{\partial}{\partial p}\left[  \sum^N_{n_1=0} \frac{N!}{n_1! (N-n_1)!} p^{n_1}q^{N-n_1} \right]\\ & = p \frac{\partial}{\partial p}(p+q)^N\\ &= p\cdot N (p+q)^{N-1} \end{split} \end{equation}$$

Como esta solução é válida para quaisquer valores de $p$ e $q$, será válida para $p$ sendo uma constante e $q=1-p$, ou seja, $p+q=1$. Assim,
$$\begin{equation} \boxed{ \overline{n_1} = Np } \end{equation}$$

Naturalmente, a quantidade média de passos para a direita somada a quantidade média de passo para a esquerda deverá ser a quantidade total de passos realizada, $$\overline{n_1}+\overline{n_2} = N(p+q) = N$$ e o deslocamento $m$ (medido para a direita em unidades do comprimento de passos $l$), $$\overline{m} = \overline{n_1-n_2} = \overline{n_1}-\overline{n_2} = N(p-q)$$ onde se $$p=q \quad \Rightarrow \quad \overline{m} =0$$

Cálculo da Dispersão:

Calculemos $\overline{(\Delta n_1)^2}$. Como visto na postagem "Valores Médios e Dispersão",é sabido que $$\overline{(u-\overline{u})^2} = \overline{u^2}- \overline{u}^2$$ portanto, $$\overline{(\Delta n_1)^2} = \overline{(n_1-\overline{n_1})^2} = \overline{n_1^2}- \overline{n_1}^2$$

Desta forma, $\overline{n_1}$ já é conhecido, falta agora calcular  $\overline{n_1^2}$.

$$\begin{equation} \overline{n_1^2} = \sum_{n_1}^N P(n_1) n_1^2 = \sum^N_{n_1=0} \frac{N!}{n_1! (N-n_1)!} p^{n_1}q^{N-n_1} \cdot n_1^2 \end{equation}$$

Novamente, considerando o problema matematicamente, sejam $p$ e $q$ parâmetros arbitrários, logo, $$n_1^2p^{n_1} = n_1 \left( p \frac{\partial}{\partial p} \right) (p^{n_1}) = \left( p \frac{\partial}{\partial p}\right) ^2 (p^{n_1})$$

E de forma análoga, é possível calcular,
$$\begin{equation} \begin{split} \sum^N_{n_1=0} \frac{N!}{n_1! (N-n_1)!} p^{n_1}q^{N-n_1} \cdot n_1^2 & = \sum^N_{n_1=0} \frac{N!}{n_1! (N-n_1)!} \left[ p \frac{\partial}{\partial p} \right]^2p^{n_1} q^{N-n_1}\\ & = \left( p \frac{\partial}{\partial p}\right) ^2 \left[  \sum^N_{n_1=0} \frac{N!}{n_1! (N-n_1)!} p^{n_1}q^{N-n_1} \right]\\ & = \left( p \frac{\partial}{\partial p}\right)^2 (p+q)^N\\ &= \left( p \frac{\partial}{\partial p}\right)\left( pN(p+q)^N \right)\\ & = p \left[ N(p+q)^{N-1}+pN(N-1)(p+q)^{N-2} \right] \end{split} \end{equation}$$

Para o caso analisado, $p+q =1$, então
$$\begin{equation} \begin{split} \overline{n_1^2} & =  p \left[ N+pN(N-1) \right]\\ & = Np \left[1 + pN-p \right]\\ & = Np + (Np)^2 - Np^2\\ & = (Np)^2 + Np(1-p)\\ & = (Np)^2 + Npq \end{split} \end{equation}$$

mas $Np= \overline{n_1}$, e assim, $\overline{n_1^2} = (\overline{n_1})^2+Npq$ e portanto,
  $$\begin{equation} \boxed{ \overline{(\Delta n_1)^2} = \overline{n_1^2}-(\overline{n_1})^2 = Npq } \end{equation}$$

Observe que $\overline{(\Delta n_1)^2}$ é uma medida quadrática no deslocamento. Desta forma, sua raiz quadrada será uma medida linear da largura do intervalo sobre o qual $n_1$ está distribuido. Uma boa medida de largura relativa desta distribuição é então,
$$\begin{equation} \frac{\sqrt{\overline{(\Delta n_1)^2}}}{\overline{n_1}} = \frac{\sqrt{Npq}}{Np} = \sqrt{\frac{q}{p}}\frac{1}{\sqrt{N}} \end{equation}$$

que para o caso particular em quye $p=q=0,5$ $$\frac{\sqrt{\overline{(\Delta n_1)^2}}}{\overline{n_1}} = \frac{1}{\sqrt{N}}$$

Também é possível se calcular a dispersão do deslocamento $m$ $\left( m = n_2 - n_2 = 2n_ -N \right)$. Daí, $$\Delta m = m - \overline{m} = (2n_1-N)-(2\overline{n_1}-N) = 2(n_1-\overline{n_1}) = 2\Delta n_1$$

Portanto, $(\Delta m)^2 = 4 (\Delta n_1)^2$. Tomando a média,
$$\begin{equation} \overline{(\Delta m)^2} = 4 \overline{ (\Delta n_1)^2} = 4Npq \end{equation}$$

E no caso onde $p=q=0,5$, $$\boxed{\overline{(\Delta m)^2} = N}$$

Em termos estatísticos, a disperção é também chamada de variancia e a sua raiz quadrada de desvio padrão.

Referência: Federick Reif, "Fundamentals of Statistical and Thermal Physics". McGraw-Hill