Até onde a nossa percepção condiz com a realidade?

Como já dito em alguns textos já publicados aqui no blog, nem sempre a nossa percepção a respeito do nosso mundo irá conduzir a realizar. Vivemos em uma escala da natureza que é dominada pela mecânica newtoniana. Portanto a pergunta natural é quais as limitações desta percepção?

Facilmente é possível introduzir os conceitos de posição, tempo, momento e energia para fenômenos corriqueiros do nosso dia a dia. É de senso comum, em pessoas leigas, que estas quantidades podem ser todas medidas com uma acurácia arbitrária, dependendo unicamente do grau de sofisticação do instrumento de medida, mas não de medida em si. De fato, estas implicações aparentam ser verificadas em todo os objetos macroscópicos. Por exemplo, em qualquer instante de tempo é possível medir a velocidade e a posição de um veículo com altíssima precisão.

Quanto é desejado realizar uma medida precisa em objetos microscópicos, somos deparados com uma  fundamental limitação na acurácia dos resultados. Por exemplo, é possível conceber uma medida da posição de um elétron por meio do espalhamento de um fóton de luz. A característica ondulatória do fóton opõe-se a um procedimento de medida exata, sendo possível a medida da posição do elétron apenas com uma certa imprecisão, ou incerteza, ∆x. Além desta incerteza na posição, a interação do fóton com o elétron induziu uma modificação no estado de movimento do elétron, onde é possível ter havido a transferência de momento do fóton par ao elétron, gerando uma incerteza no momento de ∆p.

O produto ∆x∆p é a medida da precisão com a qual é possível de medir simultaneamente a posição e o momento do elétron. (veja a postagem "Alguém tem certeza de algo?") A situação permitida pela mecânica newtoniana de ∆x→0 e ∆p→0 leva a uma situação de precisão infinita. Foi mostrado pelo físico alemão Werner Heisemberg (1901-1976) em 1927 que tal produto deve ser sempre maior do que um certo valor mínimo positivo, sendo impossível se medir simultaneamente a posição e o momento de algum objeto com precisão infinita, sendo esta proibição conhecida como Princípio da Incerteza de Heisemberg, uma primeira limitação da mecânica newtoniana.

Vale ressaltar que o valor mínimo para o produto ∆x∆p é da ordem de 10^{-34} Js. Este valor é extremamente pequeno para padrões macroscópicos, não implicando na prática nenhuma dificuldade de medida simultânea da posição e momento. Assim, a mecânica newtoniana apode ser aplicada na escala macroscópica sem grandes problemas práticos, mas não pode ser aplicada à sistemas microscópicos. Para a análise de processos microscópico é necessário uma nova mecânica, a mecânica quântica.

Além da limitação de escala especial, onde a mecânica newtoniana só é adequada para grandes escalas, há ainda outra limitação: o conceito do tempo. No conceito newtoniano, o tempo é absoluto, este é suposto ser sempre possível determinar se dois eventos ocorrem no mesmo instante de tempo ou não. Para se decidir a sequência temporal de eventos, observadores em cada evento devem ser dotados de algum tipo de comunicação instantânea, ou através de algum sistema de sinais ou através do estabelecimento de dois relógios exatamente (infinitamente, incerteza no tempo seria zero!) sincronizados sobre algum ponto de observação. Contudo,  ter dois relógios precisamente sincronizados requer o conhecimento do tempo de trânsito de um sinal em uma direção, de um observado para o outro, requerendo comunicação entre os observadores.

Hoje é conhecido que a comunicação instantânea por meio de sinais é impossível, sendo a máxima velocidade de propagação de um sinal igual velocidade de luz, da ordem de 300.000 km/s (ou 299.792,4580 km/s)

A dificuldade de estabelecer um [unica escala temporal entre pontos separados especialmente faz acreditar que o tempo não é absoluto, e que o espaço e o tempo são de alguma forma intimamente relacionados. A solução deste dilema foi encontrada durante os anos de 1094 e 1905 por Hendrik Lorentz (1853-1928), Henri Poincaré (1854-1912) e Albert Einsten (1879-1955) e é encorporada pela teoria especial da relatividades.

Assim, as nossas limitações de percepção são muitas: distâncias muito pequenas, velocidades muito altas. E além destas, quando objetos muito massivos ou distâncias enormes estão envolvidos no problemas, nossa percepção comum também falha. E como uma limitação prática, sistemas com muitas partículas também é uma fonte de problemas para a mecânica newtoniana, sendo preciso a utilização de procedimentos estatísticos, ou da mecânica estatística.

Força é Massa vezes Aceleração?

Estava por estes dias conversando um aluno de graduação a respeito de diversos assuntos, quando ouvir a seguinte afirmação do aluno; “ Força é igual a massa vezes a aceleração, como disse Newton!”. Isto me causou um certo espanto, pois na realidade Newton nunca afirmou isso! Na realidade Sir Isaac Neston afirmou que a força é a variação do momento em relação ao tempo, ou matematicamente, 

onde F é a força, p = m⋅v é o momento linear (onde M é a massa e v a velocidade). Assim, a força é,

 onde só apenas se a massa m não varia no tempo é que a força será igual a massa vezes a aceleração.

Em um grande número de aplicações comuns aos exercícios de física cobrados a estes alunos tem-se que a massa é uma constante no tempo, levando a uma conclusão equivocada simplesmente pelo fato do nosso raciocínio ser fortemente “baseado em caso”.

   Um bom exemplo onde se tem a massa variável é o movimento de um foguete! Um foguete de forma geral tem um percentual bastante considerável de sua massa constituída de combustível, que será queimado e expelido do foguete, fazendo assim com que sua massa varie consideravelmente durante seu percurso.

Movimento de um Foguete no Espaço Livre

Assuma aqui que o foguete se mova sem a influencia de qualquer força esterna a ele. Assim, no espaço livre o foguete deverá se mover por conta de sua própria energia, com a queima do combustível e a ejeção de massa (geralmente gazes) resultante desta queima.

       Em um certo instante de tempo t, a massa total do foguete é m e sua velocidade instantânea é v com respeito a algum sistema de referencial inercial. Vamos assumi que o movimento ocorre em apenas uma direção, digamos x, onde eliminaremos a notação vetorial e trabalharemos com a notação escalar.

       Durante um intervalo de tempo infinitesimal dt, um quantidade positiva infinitesimal de massa dm′é ejetada do foguete com uma velocidade u em relação ao próprio foguete. Imediatamente apos a massa dm′ ser ejetada, a massa e a velocidade do foguete serão: m - dm′ e v + dv, respectivamente.

Portanto, sobre o tempo t,

A conservação do momento linear requer que o momento inicial seja igual ao momento final, ou,

nde foi negligenciado o produto dm′dv. Como está sendo considerado que dm′é uma massa positiva ejetada do foguete, a variação da massa do foguete por se só é dm, onde dm = -dm′, e,

uma vez que a massa do foguete deve ser negativa. Assim, seja m₀ e v₀ a massa inicial e a velocidade inicial do foguete respectivamente, é possível integrar este última equação para computar as respectivas variação em massa e velocidade,

    A velocidade de exaustão foi assumida ser constante. Assim, para maximizar a velocidade do foguete, é necessário maximizar a velocidade de exaustão, u, e a razão m0/m .

Dada o fator limitante para a velocidade de exaustão, a razão m0/m, os engenheiros têm projetado foguetes de múltiplos estágios, visto que a massa mínima do foguete é limitada pela a parte estrutural.

Se pegarmos a Equação 1 e multiplicarmos por m e dividirmos por dt, então temos um termo do tipo “massa vezes aceleração” que é o impulso gerado pela queima do combustível,    [

Movimento Ascendente de um Foguete com Gravidade

O Movimento de um foguete que está tentando vencer o campo gravitacional terrestre é bastante complicado. Desta forma, vamos considerar que o foguete só pode ter movimento vertical, sem nenhuma componente horizontal. Vamos também negligenciar a resistência do ar e vamos assumir que o campo gravitacional terrestre é constante e independente da altura.

     Neste caso existira uma força externa aplicada ao foguete, no caso o seu peso. Assim, a força externa é,    

No espaço livre a força externo é zero, mas agora F_ext. = -mg onde g é a aceleração de gravidade terrestre. Assim,

Devido ao fato que a queima de combustível ocorre em uma taxa constante,    

e daí,

assumindo que a velocidade inicial é zero e a final é v, a massa inicial é m₀ e a final é m,

    

onde também é possível integrar a massa para obter a taxa α,

    e assim,

Desta forma, este é um exemplo onde a força não é simplesmente a massa vezes a aceleração!

Alguém tem certeza absoluta de algo?

Algoritmos: Significado e Origem?

Olá Pesssoal!

Como meus alunos bem sabem, sou professor da disciplina de Algoritmos e Estrutura de Dados. Aos olhos da Ciência da Computação, a cátedra de Algoritmos é um dos seu aliceces, podendo ter uma abordagem tanto teórica como também bastante prática. Mas quando ouvimos a palavra "Algoritmo", o que nos vem a mente?

Allan Turing 

Em 1936 quando o matemático Allan Turing, considerado hoje como o pai da ciência da computação, na sua tentativa de formular um procedimento para a execução de teoremas/expressões matemáticas, desenvolveu um modelo universal para a execução de uma lista de comandos, chamado de Máquina de Turim, formalizando assim o conceito de algoritmo.

Contudo, de onde veio a palavra algoritmo? Na realidade existem mais de uma possível origem relatada por historiadores e estudiosos em algoritmos. Alguns acreditam que a palavra algoritmo venha do sobrenome do matemático persa do século IX 

Abu Ja'far Maomé ibn Mûsâ Al-Khowârizmi

ou algo com "Pai de Já'far, Maomé, filho de Moisés da cidade de Khowârizmi" em português, tido como o pai da Álgebra. Uma de suas obras ao ser traduzida para o latim no século XII, recebeu o título "Algorithmi de número indorum", onde o tradutor supostamente se confundiu, tentando traduzir o seu último nome no lugar de "Algarismos".

Entretanto, outros historiadores atribuem a origem da palavra Algoritmo do termo árabe Al-Goreten, que significa um procedimento utilizado em cálculo (acredito ser radiciação..., mas não tenho certeza).

Além destas duas origem árabes, outros cientistas também utilizaram o termo "Algoritmo", como foi o caso de Gottifried Wilhelm Leibniz (1646-1716) que empregou o termo "algorithmus infinitesimalis" para designas formas de manusear matematicamente quantidades infinitesimais. E além deste, o dicionário Vollständiges Mathematisches Lexicon (1747) refere-se a palavra "Algorithmus" como a noção para a combinação de quatro operações aritméticas, adição, subtração, multiplicação e divisão.

Vollständiges Mathematisches Lexicon (1747) 

 Desta forma, após esta minha pequena pesquisa a respeito de o que são "Algoritmos", pude notar que até em sua origem os fatos são são confusos e incertos, mas hoje, para o nosso conforto, Algoritmo é muito bem defino no âmbito da Ciência da Computação, o que significa uma sequência finita de instruções (ou comandos) bem definidos e não ambíguos.

Pensamento, Criatividade e Analogias não Triviais.

Olá a todos. Estamos prestes a começar um novo semestre letivo e me deparei com um pensamento que me permeia a muito, como fazer com que meus alunos "pensem"? Não simples pensar por pensar, mas terem capacidade analítica incrementada com criatividade, com reflexão. Com fazer isto?

Pensei em um homem simples, do povo, que tenta resolver o problema de chegar ao seu trabalho, por exemplo. Ou um dona de casa com os seus problemas do dia a dia, e até grandes gênios da ciência, como Albert Einstein e outros. Como o Homem pensa? E em particular, como os grandes cientistas pensam, pois se for possível segui-los, vamos fazer!

Acredito que a "forma de pensar" seja uma expressão única do indivíduo, por mais exata e regular que seja a ciência ou o problema que o indaga. Por mais que exista formas e/ou metodologias para o ensino e o estímulo do raciocínio, esta acredito ser único, tanto em forma, com em tempo e em procedimento. Na essência, o ato de maquinar o pensamento em sua forma mais básica está no íntimo do indivíduo. Assim, como fazer para ter sucesso?

O matemática francês, Jacques Hadamard (1865-19763) tinha grande interesse em descobrir com grandes cientistas pensavam enquanto trabalhavam. De forma geral, Hadarmard considerou que paticamente todos os grandes cientistas (após diversas entrevistas) evitavam o uso de palavras mentais e sinais algébrico ou exatos. "As imagens mentais dos cientistas cujo depoimentos recebi, são na maioria das vezes visuais", escrevera Hadamard.

Um bom exemplo destas percepções visuais é o do químico alemão August Kekule (1829-1896), onde segundo seu próprio relato, o mesmo teve em um sonho a visão de uma cobra contorcida, visão esta que o levou a estabelecer como os átomos se dispunham em uma molécula.

Será que a solução, ou pensamento, de Kekule pode ser considerada analítica? Será que a nossa escola consegue perceber que tais raciocínios, não ensinados, são fundamentais para o sucesso do indivíduo? Sem dúvidas , pelo menos para mim, que a criatividade é um fator fundamental para tais associações não triviais.

Desta forma, acredito, que todo aquele que deseja ser um cientista, aquele que deseja criar e/ou construir, deve ser apresentado a maior quantidade possível de informação lúdica (claro que em um tempo hábil) e concomitantemente questionado a respeito do todo, tendo assim proporcionado as possíveis associações que sua mente única pode criar.

Portanto, mesmo reconhecendo que o enfrentamento de problemas complexos, ou mesmo problemas do dia a dias, possam estar envolvidos mecanismos muito diferentes dos "ensinados" na academia, tais mecanismos na maior parte das vezes são ignorados, indicando que nossa escola por vezes é cega, ou no mínimo míope.

Olá a todos!

Estamos inicializando este blog com o intuito de tentar passar, para você, um novo mundo de informações e conhecimentos. Aqui, estaremos tratando de questões de interesse científico e acadêmica, com principal destaque, mas não limitado, a ciência da computação, física, matemática, estatística, genética e economia.

Espero ser cativante e conseguir gerar em você um sentimento crítico e indagador a respeito das coisas ao nosso redor.

Prof. Tiago A. E. Ferreira.